บทที่ 2 การให้เหตุผล

       การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญมีอยู่ 2 วิธี
ได้แก่  1.การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)
           2.การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)
วิธีการให้เหตุผลเป็นสิ่งสำคัญต่อการคิด และการเรียนคณิตศาสตร์ จึงจำเป็นที่ผู้เรียนจะต้องรู้จักวิธีการให้เหตุผลในเบื้องต้นดังต่อไปนี้

การให้เหตุผลแบบอุปนัย

       การให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นการให้เหตุผล โดยยึดความจริงจากส่วนย่อยที่พบเห็นไปสู่ความจริงที่เป็นส่วนรวม เช่น เราพบว่าทุกเช้าพระอาทิตย์จะขึ้นทางทิศตะวันออก และตอนเย็นพระอาทิตย์จะตกทางทิศตะวันตก จึงให้ข้อสรุปว่าพระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก และพระอาทิตญืตกทางทิศตะวันตก

       ลายนิ้วมือของแต่ละคนนั้นแตกต่างกัน มีการทดลองโดยการนำลายนิ้วมือของคนหนึ่งแสนคนมาเปรียบเทียบกัน พบว่า ไม่มีลายนิ้วมือที่ซ้ำกัน จากการทดลองทดสอบความเหมือนของลายนิ้วมือข้างต้น เราสามารถสรุปการให้เหตุผลแบบอุปนัยว่า ลายนิ้วมือของแต่ละคนไม่เหมือนกัน ซึ่งจากการให้ข้อสรุปดังกล่าว สามารถใช้เป็นหลักฐานในการสอบสวนหากระทำของเจ้าหน้าที่ตำรวจในปัจจุบัน

       ในวิชาคณิตศาสตร์ใช้การหาเหตุผลแบบอุปนัย เพื่อช่วยสรุปคำตอบหรือช่วยในการแก้ปัญหา เช่น เมื่อสังเกตจากแบบรูปของจำนวน 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 เราสามารถหาจำนวนนับถัดจาก 10 อีกห้าจำนวนได้ โดยใช้ข้อสังเกตจากแบบรูปของจำนวน 1 ถึง 10 ว่าเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง ดังนั้น จำนวนนับที่ถัดจาก 10 อีก 5 จำนวน คือ 11,12,13,14 และ 15 การหาจำนวนอีกห้าจำนวนที่ได้จากการสังเกตที่กล่าวมาเป็นตัวอย่างของการให้เหตุผลแบบอุปนัย

การให้เหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง วิธีการสรุปผลในการค้นหาความจริงจากการสังเกตหรือการทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆ แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป

 จงใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัยสรุปผลเกี่ยวกับผลบวกของจำนวนคู่สองจำนวน

0+2   =  2      (จำนวนคู่)
2+4   =  6      (จำนวนคู่)
4+6   =  10    (จำนวนคู่)
6+8   =  14    (จำนวนคู่)
8+10   = 18   (จำนวนคู่)

สรุปผลว่า ผลบวกของจำนวนคู่สองจำนวนเป็นจำนวนคู่

การให้เหตุผลแบบนิรนัย

    การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็นการนำความรู้พื้นฐานซึ่งอาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฎหรือบทนิยาม ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและยอมรับว่าเป็นจริงมาประกอบเพื่อนำไปสู่ข้อสรุป เช่น จากข้อตกลง 1) และ 2)

         1) รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันสองคู่ 
         2) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันสองคู่ มีด้านแต่ละด้านยาวเท่ากัน และไม่มีมุมใดเป็นมุมฉาก 
เมื่ออ่านแล้วพบว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีสมบัติตามข้อ 1) ครบถ้วนจึงสรุปได้เป็นข้อ 3) 
         3) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
เรียกข้แความหรือประโยคในข้อ 1) และ 2) ว่า เหตุ หรือ สมมติฐาน และเรียกข้อความหรือประโยคในข้อ 3) ว่า ผล
และเรียกวิธีการสรุปข้อเท็จจริงซึ่งเป็นผลมาจากเหตุและความรู้พื้นฐานว่า การให้เหตุผลแบบนิรนัย
ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบนิรนัย
ตัวอย่างที่ 1      เหตุ .สัตว์เลี้ยงทุกตัวเป็นสัตว์ไม่ดุร้าย                                                     
2. แมวทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยงผล     แมวทุกตัวเป็นสัตว์ไม่ดุร้าย

ตัวอย่างที่ 2       เหตุ 1. นักเรียน ม.4ทุกคนแต่งกายถูกระเบียบ

2.  สมชายเป็นนักเรียนชั้น ม.4

ผล    สมชายแต่งกายถูกระเบียบ

ตัวอย่างที่ 3      เหตุ  1.วันที่มีฝนตกทั้งวันจะมีท้องฟ้ามืดครึ้มทุกวัน

2. วันนี้ท้องฟ้ามืดครึ้ม

ผล     วันนี้ฝนตกทั้งวัน