จำนวนจริง (Real Number)
เซตของจำนวนจริงประกอบด้วยสับเซตที่สำคัญ ได้แก่
- เซตของจำนวนนับ/ เซตของจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วย I
I = {1,2,3…}
- เซตของจำนวนเต็มลบ เขียนแทนด้วย I
- เซตของจำนวนเต็ม เขียนแทนด้วย I
I = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3…}
- เซตของจำนวนตรรกยะ : เซตของจำนวนจริงที่สามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วน โดยที่ a,b เป็นจำนวนเต็ม และ b = 0
NOTE
จำนวนต่อไปนี้เป็น จำนวนตรรกยะ
1. จำนวนเต็ม ได้แก่ 0,1,-1,2,-2,3,-3,...
2. จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มและตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ เช่น
3. จำนวนที่เขียนในรูปทศนิยมซ้ำ เช่น 1.414 , -0.17 , 1.508
|
- เซตของจำนวนอตรรกยะ : จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรยะ ซึ่งไม่สมารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ แต่สามารถเขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ และสามารถกำหนดค่าโดยประมาณได้
ตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ
= 1.4142135… มีค่าประมาณ 1.414
= 1.4422495… มีค่าประมาณ 1.442
= -0.8660254… มีค่าประมาณ -0.866
= 3.14159265… มีค่าประมาณ 3.1416
NOTE
ยูเนียรของเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของจำนวนอตรรกยะเรียกว่า “ เซตของจำนวนจริง” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ R
จำนวนอีกประเภทหนึ่งที่ได้จากการแก้สมการ x = -1 ซึ่งบอกไม่ได้ว่ามากกว่าศูนย์หรือน้อยกว่าศูนย์ จำนวนพวกนี้ไม่ใช่จำนวนจริง
ยูเนียรของเซตของจำนวและเซตจำนวนจริงชนิดใหม่เรียกว่า “เซตจำนวนเชิงซ้อน” |
4.2 สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ
1) สมบัตของการเท่ากันในระบบจำนวนจริง
เมื่อ a, b , c เป็นจำนวนจริงใดๆ
(1) สมบัติการสะท้อน a = a
(2) สมบัติการสมมตรา ถ้า a = a แล้ว b = c
(3) สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = a และb = c แล้ว a = c
(4) สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a = b แล้ว a+c = b+ c
(5) สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a = b แล้ว ac = bc
2) สมบัติการบวกและการคูณจำนวนจริง
ถ้า a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
สมบัติ
|
การบวก
|
การคูณ
|
ปิด
| a+b € R | ab € R |
การสลับที่
| a+ b = b+a | ab = ba |
การเปลี่ยนหมู่
| (a+b)+c = a+(b+c) | (ab)= a(bc) |
การมีเอกลักษณ์
| มีจำวนจริง 0 ซึ่ง0+a = a= a+0 | มีจำนวนจ1 a = a= a 1 ริงซึ่ง 1 ซึ่ง |
| เรียก 0ว่าเอกลักษณ์ | เรียก 1 ว่าเอกลักษณ์ |
การมีอินเวอร์ส
| สำหรับจำนวนจริง aจะมีจำนวนจริง –a โดยที่ (-a)+a = 0 = a+(-a) เรียก –a ว่าอินเวอร์ส การบวกจำนวนจริงของ a | เรียก 1 ว่าเอกลักษณ์การคูณสำหรับจำนวนจริง a ที่ a 0
จะมีจำนวนจริง a โดยที่ a
a = 1 = a a เรียก a ว่าอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง a |
การแจกแจง
| A(a+b) = ab+ac | |
ทฤษฎีบท 1 กฎการตัดออกสำหรับการบวก
เมื่อ a ,b , c เป็นจำนวนจริงใดๆ
(1) ถ้า a+b = b+c แล้ว a = b
(2) ถ้า a+b = a+c แล้ว b = c
|
ทฤษฎีบท 2 กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
เมื่อ a ,b, c เป้นจำนวนจริงใดๆ
(1) ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
(2) ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c
|
ทฤษฎีบท 3
เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ a • 0 = 0 |
ทฤษฎีบท 4
เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ (-1) a = -a |
ทฤษฎีบท 5
เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใด ๆ ถ้า ab = 0 แล้ว
a = 0 หรือ b = 0 |
ทฤษฎีบท 6
เมื่อ a b เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. a (-b) = -ab
2. (-a)b = -ab
3. (-a)(-b) = ab
|
- การลบและการหารจำนวนจริง
บทนิยาม
เมื่อ a b เป็นจำนวนจริงใดๆ
a-b = a+(-b) |
ทฤษฎีบท 7
ถ้า a ,b ,c ป็นจำนวนจริงแล้ว
1. a (b-c) = ab – ac
2. (a-b)c = ac – bc
3. (-a)(b-c) = -ab + ac |
บทนิยาม
เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ b = 0
= a( b ) |
ทฤษฎีบท 8
ถ้า a ≠ 0 จะได้ a ≠ 0 |
ทฤษฎีบท 9
1. = เมื่อ b ,c = 0
1. = เมื่อ b , c = 0
2. = เมื่อb, d = 0
3. = เมื่อ b, d = 0
4. = เมื่อ b , c = 0
5. = เมื่อ b , c = 0
6. = เมื่อ b , c, d = 0
|
4.3 การนำสมบัติของจำนวนจริงไปใช้ในการแก้สมการกำลังสอง
ตัวแปร : อักษรภาษาอังกฤษตัวเล็ก เช่น x , y ที่ใช้เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวน
ค่าคงตัว : ตัวเลขที่แททนจำนวน เช่น 1, 2
นิพจน์ : ข้อความในรูปสัญลักษณื เช่น 2, 3x ,x-8 ,
เอกนาม : นิพจน์ที่เขียนอยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่มีเลขชี้ กำลังของตัวแปรเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ เช่น -3, 5xy , 2y
พหุนาม : นิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปของเอกนาม หรือการบวกเอกนามตั้งแต่สองเอก นามขึ้นไป เช่น 3x , 5x +15xy+10x+5
ดีกรีของเอกนาม : ดีกรีสูงสุดของเอกนามในพหุนามนั้น เช่น x+2xy+1 เป็นพหุนามดีกรี 3
4.3.1การแยกตัวประกอบของพหุนาม
พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว : พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax + bx +c = 0 เมื่อค่าคงตัวที่ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร
- การแยกตัวประกอบของ x +bx +c = 0 เมื่อ b , c เป็นค่าคงตัวที่ c = 0
ทำได้โดยการาจำนวน d และ e ที่ de = c และ d+c = b ทำให้ x +bx + c = (x+d)(x+c)
เช่น จงแยกตัวประกอบของ x +7x + 12
จัดพหุนามให้อยู่ในรูป x +(d+e)x+de
นั้นคือ หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ 10 และบวกกันได้ 7
ซึ่งก็คือ 5 และ 2
จะได้ (5)(2) = 10 และ5+2 = 7
ดั้งนั้น x+7x+10= (x+5) (x+2)
NOTE
ในกรณ๊ทั่วไป x – a = (x-a)(x+a) เมื่อ a เป็นค่าคงตัวที่ a ≠ 0 |
- การแยกตัวประกอบของพหุนามในรูป ax +bx +c เมื่อ a, b , c , เป็นค่าคงตัว และ a ≠0 ,c ≠ 0
เช่น 4x-4x+1 ทำได้ดังนี้
1) หาพหุนามดีกรีหนึ่งพหุนามที่คูณกันได้ 4x มี(2x)(2x)หรือ (4x)(x) เขียนสองพหุนามที่ได้ให้เป็นพจน์หน้าของผลคูณของพหุนามใหม่ดังนี้
(2x )(2x )หรือ(4x )(x )
2.)หาจำนวน 2 จำนวนที่คูณกันได้ 1 ซึ่งได้แก่ (1)(1) หรือ (-1)(-1) เขียนจำนวนทั้งสองเป็นพจน์หลังของพหุนามในข้อ 1) ดังนี้
(2x+1)(2x+1) หรือ (4x+1)(x+1)
(2x-1)(2x-1) (4x-1)(x-1)
3)หาพจน์กลางของพหุนามจากผลคูณของพหุนามแต่ละคู่ในข้อ 2 ) ที่มีผลบวกเท่ากับ -4x จะได้
![]()
- 2x
![]()
จากผลคูณ ( 2x -1 )( 2x-1) ได้พจน์กลางเท่ากับ -4x
![]()
![]()
-2x
ดั้งนัน พหุนาม 4x -4x-1 = (2x-1)(2x-1)=(2x-1)
- การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
กำลังสองสมบูรณ์ : พหุนามดีกรีสองสมบูรณ์ที่แยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซ้ำกัน เช่น
x+2ax+4 = (x+2)(x+2) = (x+2)
x-4x+4 = (x-2)(x-2) = (x-2)
ในกรณีทั่วไปพหุนามดีกรีกำลังสองสมบูรณ์ แยกตัวประกอบได้ดังนี้
x-2ax+a = (x-a)
x+6x+9 = (x+3)
x-2ax+a = (x-2)
x-8x+16 = (x-4)
- การแยกตัวประกอบโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
พหุนาม x+bx+c เช่น x+2x-5 ทำให้เป็นกำลังสองสมบรูณ์ดังนี้
X+2x-5 = ( x+2x)-5
= (x+2x+1)-5-1
= (x+1) -6
ดั้งนั้น x+2x-5 = (x+1)-6
จาก x-a = (x-a)(x+a)
จะได้ (x+1)-6 = ((x+1)- 6 )((x+1)+ 6 )
4.3.2 การแก้สมการกำลังสองสมบูณณ์
การแก้สมการหรือการหาคำตอบของสมการสองตัวแปรเดียว การหาคำตอบของสมการที่เขียนอยู่ในรูป ax+bx+c = 0 เมื่อ a b c เป็นค่าคงตัว และ a = 0 ทำได้โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับจำนวนจริง ดังนี้
“ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริง และab = 0 แล้ว a = 0”
การหาคำตอบของสมการ : การหาจำนวนที่นำไปแทน x ในสมการแล้วได้สมการที่เป็นจริง
- การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีการแยกตัวประกอบ
เช่น แยกตัวประกอบของ x-4x+3 = 0
วิธีทำ แยกตัวประกอบของ x-4x+3
จะได้ (x-3)(x-1)
หาคำตอบของสมการ (x-3)(x-1) = 0
โดยหา x ที่ทำให้ x-3 = 0 หรือ x-1= 0
นั่นคือ x= 0 หรือ x= 1
ตรวจคำตอบ โดยแทนค่า x ในการ x-4x+3 = 0 ด้วย 1หรือ 3
เมื่อแทนค่า x ด้วย 1 จะได้
(1)-4 (1)+3 = 0 ซึ่งเป็นจริง
เมื่อแทนค่า x ด้วย 3 จะได้
(3)-4(3)+3 = 0 ซึ่งเป็นจริง
ดังนั้น 1 และ3 เป็นคำตอบของสมการ x -4x+3 =0
- การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร
x = เมื่อ a = 0 และ b -4ac ≥0 |
NOTE
สมการกำลังสอง ax +bx+c = 0 เมื่อ a b c เป็นค่าคงตัว และ a = 0
มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง 2 คำตอบ เมื่อ b -4ac 0
มีคำตอบที่เป็นจำนวน 1 คำตอบ เมื่อ b -4ac = 0
ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง เมื่อ b -4ac 0 |
เช่น 1. จงหาคำตอบของสมการ 3x-11 = 0
วิธีทำ เมื่อเทียบกับสมการ ax+bx+c = 0
จะได้ a =3, b= 0 , c = 0
B -4ac = 0 -4(3)(-11) = 132
![]()
จาก x =
![]()
จะได้ x =
![]()
นั้นคือ
และ ป็นคำตอบของสมการ
4.4 การไม่เท่ากัน
การเปรียบเทียบจำนวนสองจำนวนว่ามากกว่าหรือน้อยกว่าได้ โดยเขียนอยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ เช่น n แทนจำนวนเต็ม
n > 5 หมายถึง จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่า 5 เช่น 6 ,7 ,8 ,...
n ≤ 1 หมายถึง จำวนเต็มทุกจำนวนที่น้อยกว่าหรือเทท่ากับ 1 เช่น 1 ,0 ,-1 ,-2, ...
n = 4 หมายถึง จำนวนทุกจำนวนที่ไม่เท่ากับ 4 เช่น ... ,- 2 ,-1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,5 ,6 ,...
อสมการ : ประโยคที่มีสัญาลักษณ์ หรือ = แสดงการเปรียบเทียบจำนวนสองจำนวน
คำตอบของอสมการ : จำนวนที่แทนตัวแปรได้อสมการที่เป็นจริง
เซตคำตอบของอสมการ : การหาคำตอบของอสมการ โดยอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากัน
1) สมบัติของการไม่เท่ากันในระบบจำนวนจริง
ให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
(1) สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a b และ b c แล้ว a c
(2) สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a b แล้ว a+c b +c
(3) สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันที่น้อยกว่าศูนย์
ถ้า a b และ c 0 แล้ว ac bc
(5) สมบัติการตัดต่อออกสำหรับการบวก
ถ้า a+ b b+c แล้ว a b
(6) สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
ถ้า ac bc c และ c 0 แล้ว a b
ถ้า ac bc และ c 0 แล้ว a b
NOTE
สมบัติการคูณด้วยจำนวนลบและการหารด้วยจำนวนลบจะทำให้เครื่องหมายของอสมการเปลี่ยปลงไป ดังนี้
1. เปลี่นเป็น เช่น 2 1 คูณด้วย -1 จะได้ (-1)(2) (-1)(1)
2. เปลี่ยเป็น เช่น ให้ a 10 คูณด้วย -1 จะได้ (-1)(a) (-1)(10)
3. เปลี่ยนเป็น เช่น ให้ -1 1 คูณด้วย -1 จะได้(-1)(-1) (-1)(1)
4. เปลี่ยนเป็น เช่น ให้ a 5 คูณด้วย จะได้ (-1)(a) (-1)(5)
![]()
NOTE
ช่วงของจำนวนจริงและการแก้สมการตัวแปรเดียว ให้ a ,b ,c เป็นจำนวนจริง และ a b
ช่วงเปิด ( a ,b ) หมายถึง { x| a < x b}
ช่วงปิด [a, b] หมายถึง {x | a _ x _b }
ช่วงครึ่งปิด (a ,b] หมายถึง {x | a x b}
ช่วงตครึ่งเปิด [ a, b) หมายถึง {x | a ≤ x ≤ b}
ช่วง (a ,b ) หมายถึง {x | x > a}
ช่ง [ a , ) หมายถึง {x | x _ a}
ช่วง (- , a ]หมายถึง {x | x _ a}
ช่วง (- , - ) หมายถึง {x | x R}
2. การแก้สมการกำลังสองตัวแปร
เช่น P(x) 0 , P(x) 0 , P(x) 0 หรือ P(5) 0
ให้ P (x) = (x-a) (x- b) โดยที่ a b
P(x) 0 เมื่อ x a เมื่อ x b
P(x) 0 เมื่อ a x b
P(x) = 0 เมื่อ x= a หรือ x = b
เซตคำตอบของสมการ P(x) 0 คือ (- , a) (b , )
เซตคำตอบของสมการ P(x) 0 คือ (a , b)
4.5 ค่าสมบูรณ์ของจำนวนจริง
ค่าสมบูรณ์ของจำวนจริง a : เมื่อกำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงระยะจากจุด 0 ถึงจุดที่แทนที่จำนวนจริง a เขียนแทนด้วย |a|
เช่น |2| หมายถึง ระยะจากจุด 0 ถึงจุดที่แทนจำนวน 2 ซึ่งเท่ากับ 2 หน่วย
|-2| หมายถึง ระยะจุด 0 ถึงจุดที่แทนจำนวน -2 ซึ่งเท่ากับ
สรุปเป็นกรณีทั่วไป เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ไดดังนี้
|a| = a เมื่อ a 0
= a เมื่อ a = 0
= -a เมื่อ a 0
สมบัติของค่าสัมบูรณ์
ให้ x , y เป้นจำนวนจริงใด ๆ
1. |x| _ 0 เสมอทุกค่าของจำนวนจริง x
2. |x| = |-x|
3. x = |x|
4. |x|² = |x| = x
5. |xy| = |x| |y|
6. | x| = |x| เมื่อ y = 0
7. |x+y| _ |x| + |y|
8. |x-y| = |y-x|
9. ถ้า x = y แล้ว |x| = |y|
10. ถ้า |x| = |y| แล้ว x= y หรือ x-y
11. ถ้า |x| |y| แล้ว x y
12. ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
1) |x| a มีความหมายเช่นเดียวกับ – a x a
2 ) |x| _ a มีความหมายเช่นเดียวกับ –a _ x _ a
3) |x| a มีความหมายเช่นเดียวกับ x -a หรือ x a
4) |x| _ a มีความหมายเช่นเดียวกับ x _ - a หรือ x _ a
